七下尖子生培优系列—平面直角坐标系(9)

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【试题】已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．

（1）求△ABC的面积是多少？

（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S_△ACP=2S_△ABC，求点P的坐标？

（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S_△BCQ=2S_△ABC，求点Q的坐标？

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【分析】（1）由A、C两点的坐标可求出AC的长（AC＝4），由B点坐标可求△ABC边AC边上的高（＝B的纵坐标＝3），然后利用三角形的面积列式计算即可得解（＝6）；

（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；

如下图示：

此时S_△ACP＝0.5×AC×OP＝2OP，

再由S_△ACP=2S_△ABC可得OP＝6，从而得到P（0，6）或P（0，－6）.

（3）类似上述分析，可分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．如下图示：

      此时S_△BCQ＝0.5×CQ×y_B，S_△ABC＝0.5×AC×y_B，再由S_△BCQ=2S_△ABC可得CQ=2AC＝12，从而得到Q（-11，0）或P（5，0）.

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详细过程如下：

【解】（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），∴AC=1﹣（﹣3）=1+3=4，点B到AC的距离为3，

∴△ABC的面积=×4×3=6；

（2）∵S_△ACP=2S_△ABC=12，∴以AC为底时，△ACP的高OP＝12×2÷4=6，

∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；

点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；

（3）∵S_△BCQ=2S_△ABC=12，∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ=12×2÷3=8，∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；

点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，可以结合坐标系进行分析．

【拓展】已知：△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．若M（m，3），N（－2，n）（其中m，n是常数），（1）(1)当S_△ACM=2S_△ABC．求m的值；

(2)当S_△BCN=2S_△ABC．求n的值.

【提示】解法与原试题类似，答案为：（1）m=－6或m=6；

（2）n=－11或n=5.

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